Say, miqdar bildirmək və təsvir etmək üçün istifadə olunan işarələr və üsullar toplusu say sistemini əmələ gətirir. Əsasən, iki cür say sistemi istifadə edilir: mövqeli və mövqesiz sistemlər.
Mövqesiz say sistemlərində rəqəmin qiyməti onun qrafik təsviri ilə müəyyən edilir. Belə say sistemlərinə Rum rəqəmlərinə əsaslanan say sistemini misal göstərmək olur. Bu say sistemində bir neçə simvol var. Bütün ədədlər həmin simvolların köməyi ilə yazılır. I –bir, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000. Ədədləri təsvir etmək üçün simvolları qiymətlərinin azalma ardıcıllığı ilə soldan sağa düzürlər. Hər hansı simvolun solunda kiçik qiymətli simvol yazıla bilər. Bu halda kiçik qiymətli simvol mənfi işarəli hesab olunur.
Nümunə. CLXX= 100+50+10+10=170
CXL=100+(-10)+50=140
Nümunə. XV və XVI ədədlərində V simvolu müvafiq olaraq sağdan birinci və ikinci yerdə durur. Lakin hər iki ədəddə V-in qiyməti 5-ə bərabərdir. Eləcə də, X simvolu sağdan həm ikinci həm də üçüncü yerdə eyni bir ədədi bir ədədi- 10 ədədini ifadə edir. Başqa sözlə, mövqesiz sistemlərində təkliklər, onluqlar və s. kimi mərtəbə anlayışları yoxdur. Bu sistemlər hesablamalar aparmaq üçün çox əlverişsizdir.
Indi isə bizə yaxşı tanış olan onluq say sisteminə baxaq. Iki ədəd götürək: 40 və 14. Bu ədədlərin hər ikisində 4 rəqəmi var. Lakin bu rəqəmlərin qiymətləri fərqlidir. Birinci ədəddə 4 qırx ədədinə, ikincidə dördə bərabərdir. Bunun səbəbi verilmiş ədədlərdə 4-ün müxtəlif mövqelərdə (soldan sağa uyğun olaraq 1-ci və 2-ci) yazılmasıdır. Bu tip say sistemləri mövqeli sistemlər adlanır. Ilk mövqeli say sistemlərindən biri altmışlıq sistemidir. Bu say sistemində hər mərtəbənin qiyməti əvvəlkindən 60 dəfə böyükdür. Altmışlıq say sisteminin izləri bu günümüzə gəlib çatıb. Məsələn, vaxtın və bucağın ölçülməsi altmışlıq say sisteminə əsaslanır.
Komputerlərdə istifadə edilən ikilik, səkkizlik və onaltılıq say sistemləri də mövqeli sistemlərə aiddir.
Mövqeli say sistemlərində ədədlərin təsviri ilə ətraflı tanış olaq.
Nümunə. Ixtiyari bir tam onluq ədəd, məsələn 7632 ədədini götürək. Həmin ədədi sağdan sola mərtəbələtinə ayırmaqla aşağıdakı kimi təsvir edə bilərik.
2 dənə 1 + 3 dənə 10 + 6 dənə 100+ 7 dənə 1000
Başqa sözlə 7632=7*1000+6*100+3*10+2*1= 7*103+6*102+3*101+2*100
Bu qaydanı ümumiləşdirib belə yazmaq olar:
D= dn-1*10n-1+dn-2*10n-2+....+d1*101+d0*100
Burada D- onluq ədəd; n- ədədin mətəbələrinin sayıdır ( yuxarıdakı misalda 7632 ədədinin mərtəbələri sayı 4-ə bərabərdir).
Ədədin tam hissəsinin mərtəbələri sağdan sola 0- dan başlanaraq, kəsr hissəsinin mərtəbələri isə soldan sağa mənfi vahiddən başlayaraq azalma ardıcıllığı ilə nömrələnir.
Nümunə. 3.45= 3*100+4*10-1+5*10-2
Göstərdiyimiz qayda təkcə onluq say sisteminə deyil, bütün mövqeli say sistemlərinə aiddir. Həmin qaydaya görə mövqeli say sistemində ədədi aşağıdakı cəmlə ifadə etmək olar.
D= dn-1xbn-1+dn-2xbn-2+....+d1xb1+d0xb0
Burada b say sisteminin əsasıdır.
Ikilik say sistemləri. Onluq say sistemində 10 rəqəm olduğu kimi ikilik say sistemində də iki rəqəm 0 və 1 vardır. Bu sistemdə ədədlər 0 və1-lərin ardıcıllığı şəklində ifadə olunur. Məsələn, 10001, 1000010, 1000101
Biz mövqeli say sistemlərində ədədlərin təsviri qaydasını bilirik. b=2(say sisteminin əsası qəbul edilib ikilik tam ədədin aşağıdakı kimi təsvirini vermək olar:
D=dn-1*2n-1+dn-2*2n-2+...+d1*21+d0*20
Nümunə. 110102 ədədini götürək. (ədədin indeksində onun əsası göstərilib.Əgər indeks göstərilmirsə ədədin onluq say sistemində olduğu hesab edilir.). Bu ədədin mərtəbələr sayı 5-ə bərabərdir: n=5. Yuxarıda baxdığımız qaydanı tətbiq edək: 110102=1*24+1*23+0*22+1*21+0*20
Onluq sistemdə hər bir mərtəbənin qiyməti özündən əvvəlkindən 10 dəfə böyükdür. Ikilik sistemdə isə hər bir mərtəbə özündən sağdakı mərtəbədən 2 dəfə böyük olur.
Bir say sistemindən digərinə keçmə qaydaları. Tam ədədləri onluq say sistemindən ikilik sistemə keçirmək üçün belə bir qayda var:
1. ədəd 2-yə bölünür. Qalıq və qismət ayrıca qeyd olunur.
2. Qismət sıfıra və ya birə bərabər deyilsə yenidən ikiyə bölünür (1-ci addım təkrar olunur). əks halda 3-cü addıma keçilir.
3. Sonuncu qismət və bütün qalıqlar axırıncıdan başlayaraq soldan sağa yazılır. Alınmış ifadə onluq ədədin ikilik say sistemində təsviridir.
Nümunə. 631 onluq ədədinin ikilik təsvirini vermək lazımdır
Qismət/qalıq
631:2=315 1
315:2=157 1
157:2=78 1
78:2=39 0
39:2=19 1
19:2=9 1
9:2=4 1
4:2=2 0
2:2=1 0
İkilik ədəd 1001110111-dir. Beləliklə, 63110 ədədi ikilik say sistemində 10011101112 200 təsvir olunur. Ikilik sistemindən onluğa keçmək üçün verilmiş ədədi mərtəbə vurqularının cəmi şəklində təsvir etmək lazımdır:
Nəticə 10011101112 = 129+ 028 + 027 + 126 +125 + 124 + 023 + 122 + 121 + 120
Hər bir toplamanı onluq sisteminə istifadə edək: 10011101112 = 512 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 63110
Deməli, 10011101112 ədədi 10 – luq sistemində 631 - ə bərabərdir.
Göründüyü kimi, ədədlərin ikilik təsvirində daha çox sayda rəqəm iştirak edir.(Məsələn, üçrəqəmli 63110 – 1 ikilikdə təsvir etmək üçün 10 dənə ikilik rəqəm lzımdır). Bu səbəbdən də çoxmərtəbəli ədədlərin ikilik say sistemində təsviri. yadda saxlanılması çətindir.
Ikilik say sistemində təsvir olunmuş ədədləri oxunaqlı etmək üçün 8 – lik və 16 – lıq say sistemlərindən istifadə etmək əlverişlidir, çünki, 23=8, 24=16.
Ümumiyyətlə, ikilik, səkkizlik və onaltılıq say sistemlərinin yaranması və tətbiqinin təkcə kompüterləri ilə bağlamaq düz olmazdır. Ikilik say sisteminin meydana gəlməsi, inkişafı riyaziyyat tarixinin maraqlı səhifələrindəndir. Ikilik say sistemində hesab əməllərinin yerinə yetirmə qaydaları Leybnisinin adı ilə bağlıdır.
Lakin XX əsrin 30 – cu illərinə kimi ikilik say sistemini yalnız nəzəri məsələlərin həllində istifadə olunurdu. Sadə quruluşlu etibarlı mexniki hesablama maşınına olan təlabat ikilik say sisteminin əməli tətbiqi üçün zəmin yaratdı. Bu say sistemi ilə işləyən ilk mexaniki hesablama maşınları Fransa və Almaniyada yaradıldı.
Səkkizlik say sistemi ilə bağlı maraqlı bir hadisəni xatırlatmağa dəyər. İsveç kralı XII Karl öz hakimiyyəti dövrində (XVIII əsr) səkkizlik say sisteminə bərk aludə olmuş, onu onluq say sistemindən üstün saymışdır. Kral hətta xüsusi fərmanla bu sistemi ümumidövlət miqyasında qəbul etdirmək istəyirdi. Lakin Kralın ölümü onu bu qeyri – adi qərarı həyata keçirməyə imkan vermədi
Ədədlərin onluq və onaltılıq sistemdə təsviri.
Onluqda Onaltılıqda Onluqda Onaltılıqda
0 0 16 10
1 1 17 11
2 2 18 12
3 3 19 13
4 4 20 14
5 5 21 15
6 6 22 16
7 7 23 17
8 8 24 18
9 9 25 19
10 A 26 1A
11 B 27 1B
12 C 28 1C
13 D 29 1D
14 E 30 1E
15 F ... ....
Ikilik say sistemindən 8-liyə və 16-lığa, eləcə də əksinə keçmək olar.
Tutaq ki, ikilikdə təsvir edilmiş tam ədədi 8-liyə çevirmək lazımdır. Bunun üçün həmin ədədi sağdan başlayaraq üç-üç qruplaşdırırıq. Ədədin önündə qrupun çatışmayan rəqəmlərinin yerinə 0 yazırıq. Sonra hər bir qrupda alınmış ikilik ədədi 8-likdə təsvir edirik. Dediklərimizi misalla izah edək.
Nümunə. 10110110111011-------ikilik ədəd
010 110 110 111 011
2 6 6 7 3 ------------səkkizlik ədəd
Beləliklə, 101101101110112= 266738
Eyni ilə, səkkizlikdən ikiliyə keçmək mümkündür.
Nümunə. 27462------səkkizlik ədəd
2 7 4 6 2
010 111 100 110 010 ---------ikilik ədəd
Deməli, 27462¬8=0101111001100102
Eyni yolla ikilik sistemdən 16-lığa və ya əksinə keçmək olar. Fərq yalnız bundadır ki, onaltılığa keçərkən ikilik ədədləri sağdan sola dörd-dörd qruplaşdırmaq lazımdır.
Nümunə. 10110110111011-------ikilik sistemdə
Və ya 0010 1101 1011 1011
2 D B B ---onaltılıq sistemdə
Deməli, 101101101110112=2DBB16
16 – lıqdan ikiliyə keçək. Bunun üçün 16 – lıqda təsvir edilmiş hər rəqəmi 4 ikilik rəqəmlə əvəz etməliyik.
Nümunə. 3CAB16=00111100101010112=111100101010112 Tam ədədlərin onluq say sistemindən 8 – liyə və 16 – lığa, eləcə də əksinə çevrilməsi bayaqkı qaydalara uyğundur.
Nümunə. 31318 ədədini 8 – lik say sistemində təsvir edək
31318 8
31312 3914 8
6 3912 489 8
2 488 61 8
1 56 7
5
Deməli, 3131810=751268
Kəsr ədədlərin çevrilməsi
Nümunə. 101.10102 ədədini onluq say sistemində təsvir edək.
Tam hissə Kəsr hissə
------------------- ----------------------------
101,10102 =1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3+0*2-4= 5+ 0.5+ 0.125=5.62510
Nümunə. 5.62510 ədədini ikilik say sisteminə keçirək.
Əvvəlcə tam hissəni çevirək.
510 = 1012
Indi isə kəsr hissəni də aşğıdakı qayda ilə çevirək.
625
x
2
------------
1 250
x
2
--------------
0 500
x
2
-------------
1 000
Beləliklə 5.62510= 101.10102 olur.
bu yaxşıdır
YanıtlaSilcox cetin geldi mene
YanıtlaSilÇox asandır sənə elə gəlib
Sil